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Autor Tema: Representacion grafica del cuadrado de un binomio  (Leído 4267 veces)

Desconectado Skywalker

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Representacion grafica del cuadrado de un binomio
« : 03/05/2009, 02:47:48 pm »
Representación gráfica del cuadrado y del cubo de la suma de dos cantidades.


Objetivo:

Elevar un binomio al cuadrado y al cubo en el caso general, para comparar el método algebraico con el geométrico.
Representar el cuadrado y el cubo de un binomio que es abstracto, concretamente.
Facilitar el aprendizaje matemático por medio de objetos palpables.
Combinar el álgebra con la geometría.

Antecedentes:

Las matemáticas de la antigüedad estaban basadas principalmente en la geometría. Según nos
cuenta Herodoto, la geometría tuvo su origen en las técnicas de medición de los egipcios, de
donde más tarde pasaría a Grecia. Los árabes fueron los herederos de la cultura helénica y los
"Elementos de Euclides" uno de los textos más estudiados que se basa en el estudio de la
figuras, que llegó a nuestra actualidad, y es parte de la geometría que actualmente se estudia.
Un área de esa matemática se centró en las operaciones algebraicas, una de ellas es la
multiplicación de polinomios, ésta a la vez incluye multiplicar un binomio por otro igual, y éste se
puede volver a multiplicar por el mismo y así sucesivamente hasta el infinito. Los matemáticos
desde la antigüedad hasta Newton intentaron simplificar estas multiplicaciones con una nueva
operación llamada potencia.

Marco teórico:

Elevar un binomio a una determinada potencia significa multiplicar abreviadamente un binomio n
veces por sí mismo. Después de resolver éstas multiplicaciones por el método conocido (que
consiste en multiplicar cada término del primer binomio por cada término del segundo), se
obtuvieron resultados y se encontró una relación en cada uno cuando se iba elevando una unidad
al exponente, que después demostró Pascal con su triángulo, donde se representaban los
coeficientes de cada resultado al elevar un binomio a cualquier potencia.
Más tarde Newton encontró la forma general para calcular un binomio a la n potencia. Donde se
expresó de forma general los resultados de ésta secuencia. Pero en éste trabajo nos enfocaremos
sólo al binomio al cuadrado y al cubo, que al encontrarse su fórmula general ((a+b)2=a2+2ab+b2, y
(a+b)3= a3+3a2b+3ab2+b3), se demostró geométricamente dando valores lineales a “a” y a “b” para
demostrar los resultados algebraicos. Que son para (a+b)2 calcular el área de un cuadrado con
(a+b) de lado. Y para (a+b)3 calcular el volumen de un cubo con (a+b) de lado.
Siguiendo las fórmulas para el área del cuadrado (A=L2) y del volumen del cubo (V=L3).

Método:

Fue una investigación experimental, ya que sólo necesitamos desarrollar las operaciones y luego
dar valores lineales a las cantidades para representarlo geométricamente.
En la parte teórica, sólo repasamos y desarrollamos las propiedades descubiertas por Pascal y Newton.

Desarrollo:
El cuadrado de la suma de dos cantidades puede representarse geométricamente cuando los
valores son positivos.
Construimos un cuadrado de a unidades de lado, es decir, de lado a.
Construimos un cuadrado de b unidades de lado, es decir, de lado b.
Construimos dos rectángulos de largo a y ancho b.
Uniendo estas 4 figuras formaremos un cuadrado de (a+b) unidades de lado. El área de éste
cuadrado es (a+b)(a+b)=(a+b)2, y esta área está formada por un cuadrado de área a2, un
cuadrado de área b2 y dos rectángulos de área ab cada uno, o sea 2ab.

Podría resumirse en calcular el área de un cuadrado de (a+b) de lado, por lo que debemos elevar al cuadrado este valor según la fórmula del área del cuadrado que es A=L2.

El cubo de la suma de dos cantidades puede representarse geométricamente cuando los valores son positivos.
Construimos un cubo de a unidades de lado, es decir, de lado a.
Construimos un cubo de b unidades de lado, es decir, de lado b.
Construimos 3 rectángulos de a2b.
Construimos 3 rectángulos de ab2.

Se puede resumir en calcular el volumen de un cubo de (a+b) de lado, por lo que debemos elevar al cubo este valor según la fórmula del volumen del cubo, que es V=L3.





Por medio de modelos construidos de madera (binomio al cubo) y de cartón (binomio al cuadrado),
comprobaremos y explicaremos los procedimientos antes mencionados.
Elevaremos al cubo y al cuadrado un segmento llamado “a” + otro segmento llamado “b” para
obtener el resultado geométricamente.

Resultados y Conclusiones:



1.- Elevando un binomio al cuadrado obtenemos un trinomio cuadrado (algebraicamente).

2.- Elevando un binomio al cubo obtenemos un polinomio cubo (algebraicamente).

3.- Elevando un segmento de tamaño “a” + otro segmento de tamaño “b” al cuadrado se obtiene un cuadrado perfecto (geométricamente).

4.- Elevando un segmento “a” + otro “b” al cubo se obtiene un cubo perfecto (geométricamente).

5.- Comparar el método algebraico con el método geométrico nos ayuda a ver claramente el desarrollo del binomio a la potencia.

6.- Ejemplificar con el método geométrico, nos ayuda a encontrar las causas de los resultados físicamente y no a sólo seguir fórmulas, sino encontrar demostraciones, que fácilmente podemos
construir sin necesidad de buscarlas en el triángulo de Pascal ni en la fórmula de Newton.

7.- Aplicando la geometría y el álgebra podemos resolver problemas de la vida cotidiana.

8.- Representar de manera concreta una operación matemática que es abstracta concretamente facilita el aprendizaje matemático de las operaciones.

9.- Elevar un binomio al cuadrado es lo mismo que calcular el área de un cuadrado de (a+b) de lado.

10.- Elevar un binomio al cubo es lo mismo que calcular el volumen de un cubo de (a+b) de lado.

Bibliografía:

1.- Dugopolski Mark, Álgebra Intermedia, Ed. Mc Graw Hill, México 2005, 550 págs., pp.: 168-178.

2.- Smith, Stanley A., Álgebra, Ed. Addison Weasley, México 1992, 659 págs., pp.: 241-244

3.- Baldor, Aurelio Álgebra, Publicaciones cultural, México, abril de 2004, (22ª ed.), 574 págs., pp.: 97-99, 103-104.

4.-
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Desconectado Zoke

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Re: Representacion grafica del cuadrado de un binomio
« Respuesta #1 : 06/05/2009, 04:59:21 pm »
Eso lo estoy dando yo, lo de los binomios!! GRACIAS SKY

Saludos

Zoke

Desconectado Juan Barrera

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Re: Representacion grafica del cuadrado de un binomio
« Respuesta #2 : 14/06/2009, 07:46:51 am »
Resumen: triángulo de Tartaglia que tantas veces me ha salvado.

Desconectado Benzakeitor

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Re: Representacion grafica del cuadrado de un binomio
« Respuesta #3 : 14/06/2009, 02:02:36 pm »
jeje muy bueno Sky

podrias poner algo de polinomios y sus modo de divisiones y en forma de graficas ??

jeje bueno saludos :D

Desconectado oloroko

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Re: Representacion grafica del cuadrado de un binomio
« Respuesta #4 : 30/06/2009, 06:45:56 pm »
Trinomio Cuadrado Perfecto =S
Gracias
Dificil muy dificil
Salu2

Desconectado D.N.

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Re: Representacion grafica del cuadrado de un binomio
« Respuesta #5 : 10/07/2009, 06:33:17 pm »
Mmm... muy bueno la representacion grafica. Yo me aprendi eso tal cual, nunca pense en la grafia pero es verdad. Buena Info Sky.

Juan Barrera, el triangulo de tartaglia es importante, pero esto es simplemente la representacion grafia el cuadrado y el cubo. xDD
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